Уроки геометрии в задачах 7—8 классы - М. А. Волчкевич 2016

Отражения и зеркала

С задачей Герона связан также закон отражения луча света от прямого зеркала: угол его падения на зеркало равен углу отражения. Это правило было известно еще Евклиду. Но только в XVII веке Пьер Ферма сформулировал основной принцип, который справедлив во всех современных теориях: луч света (при его отражении, преломлении и т. д.) между двумя точками идет по пути, на который он тратит наименьшее время.

света образует

L При падении и отражении от зеркала луч с ним равные углы. Докажите, что в этом случае он идет через зеркало по самому короткому пути между точками А и В.

Представим себе, что из точки А выходит множество лучей света. Все они после отражения от зеркала будут лежать на прямых, проходящих через симметричную точке А точку А_:. Для наблюдателя, находящегося в других точках В, будет казаться, что он «видит» точку Aj. Говорят, что в этой точке находится мнимое изображение точки А. Поэтому зеркала как будто «удваивают» пространство, и осевую симметрию называют еще зеркальной.

2. Как нужно расположить зеркало, чтобы нормально прочитать в нем слово: а) КОФЕ; б) ПОТОП?

3. Как вы думаете, почему на некоторых машинах спереди пишут RNJJAMNHA34?

4. Догадайтесь с помощью зеркала, что здесь написано:

ODAUAI/

5. (Философский вопрос.) Если подойти к зеркалу и поднять правую руку, то ваше отражение «поднимет» левую, то есть зеркало меняет местами право и лево. Но как вы думаете, почему оно не меняет верх и низ?

6. Спокойная поверхность воды отражает окружающие предметы не хуже зеркала. Догадайтесь, где на приведенной фотографии находится оригинал, а где его отражение.

7. Возьмите две створки зеркального шкафа (или трюмо), поверните их под углом друг к другу и приставьте к ним карандаш так, как показано на рисунке. Под каким углом нужно повернуть зеркала, чтобы из отражений сложился: а) треугольник; б) четырехугольник; в) шестиугольник?

8. Как вы, наверное, помните, два перпендикулярных друг другу зеркала образуют катафот. Он разворачивает упавший на него луч света на 180°. Повернем теперь зеркала под тупым углом а. На какой угол по отношению к направлению падающего луча повернется отраженный двумя зеркалами луч?

9. Луч света отражается от прямого зеркала. Сам луч не меняли, а зеркало повернули на угол а. На какой угол повернется отраженный луч?

10. Луч света последовательно отражается относительно сторон зеркального угла в 45°. Докажите, что после последнего отражения он «вернется» параллельно направлению его падения на первое зеркало. Можно ли доказать это так, чтобы не считать много углов?

*11. Какое максимальное число раз может отразиться луч света от сторон зеркального угла, равного 10° ?

12. По шару, который стоит у середины борта бильярда, ударили так, что после трех отражений⁵ от других бортов он попал в соседнюю лузу. В каком отношении делит противоположную сторону бильярда точка его отражения К?

*13. В одной из угловых луз прямоугольного бильярда стоит шар. По нему бьют под углом 45° к борту. Докажите, что если отношение сторон бильярда — рациональное число, то после нескольких ударов о борта шар обязательно попадет в другую лузу. Сколько раз ударится шар о борта, если отношение сторон равно 4:9?

В переводе с древнего греческого языка слово хорда означает тетива лука.

Диаметром произвольной фигуры называют отрезок, соединяющий наиболее удаленные точки фигуры; например, диаметром квадрата служит любая его диагональ.

Какая фигура должна быть следующей в приведенном на рисунке ряду?

Данное свойство как раз и показывает, что симметрия относительно прямой является движением.

В математических задачах про бильярд предполагается, что шар отражается от бортов так же, как луч света в зеркале. На практике бильярдные шары движутся сложнее, поскольку после удара кием могут получить кручение вокруг собственной оси.