Уроки геометрии в задачах 7—8 классы - М. А. Волчкевич 2016

Кратчайшие пути

1. (Задача Герона из Александрии.) Точки А и В лежат по одну сторону от прямой. Постройте на этой прямой такую точку М, чтобы сумма отрезков AM + ВЫ была минимальна.

2. Точки А и В находятся по разные стороны от прямой. Найдите на этой прямой такую точку М, чтобы модуль разности \АМ—ВМ\ принимал наибольшее значение.

3. Докажите, что из всех треугольников с данным основанием и данной высотой, проведенной к этому основанию, наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник.

4. Внутри острого угла с вершиной О взяли точку А. Постройте на двух его сторонах точки В и С так, чтобы периметр треугольника АВС был наименьшим.

5. Найдите минимальный периметр треугольника АВС из предыдущей задачи, если ОА = 1, а величина данного угла равна 30°.

6. В треугольнике АВС боковые стороны АВ и ВС равны 1, а угол АВС равен 20°. На стороне АВ выбирают произвольную точку К, а на стороне ВС — произвольную точку Е. Найдите минимум
суммы АЕ + ЕК 4- КС.
В	В А
А	А
	А
А С	А С
К задаче 6	К задаче 7

7. Боковые стороны АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС равны 1, а угол между ними равен 15°. На стороне АВ выбирают произвольную точку К, а на стороне ВС — произвольную точку Е. Найдите минимум АЕ 4- ЕК.

*8. Один из углов остроугольного треугольника равен 30°. На каждой его стороне выбрали по одной точке. Докажите, что минимальный периметр образованного этими точками треугольника равен одной из высот исходного треугольника.

*9. На каждой стороне прямоугольника взяли по одной точке. Докажите, что наименьший периметр образованного этими точками четырехугольника равен сумме диагоналей прямоугольника.