Градиент функции. Производная по направлению - ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть в некоторой области трехмерного пространства Q определена функция u = (х, у, z).

Определение. Градиентом функции u = (х, у, z) в точке М0(х0, y0, z0) ∈ Q называется вектор gradu(M0) с координатами

Градиент функции указывает направление наискорейшего возрастания функции.

Пример. Пусть дана функция Найдем градиент этой функции в точке М0(1, 2, 3).

Определим частные производные функции в этой точке:

Таким образом, градиент данной функции в точке М0(1, 2, 3) равен

Возьмем некоторую точку M0(x0, у0, z0) и проведем через нее прямую, совпадающую по направлению с вектором . Рассмотрим значение функции u = u(х, у, z) = u(М) в точке М0(х0,y0, z0) и в точке близкой к ней М1(х1, y1, z1).

Определение. Производной функции u = u(М) в точке М0(х0, у0, z0) по направлению называется предел если этот предел существует.

Если функция u = u(М) дифференцируема в точке М0(x0, y0, z0), то в этой точке существует ее производная по любому направлению, равная

где вектор единичной длины, совпадающий по направлению с вектором .

Пример. Найти производную по направлению функции u = ln(х2 + у2 + z2) в точке М0(5, 3, 1).

Вычислим частные производные функции в точке М0(5, 3, 1):

Найдем единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором .

тогда

Окончательно будем иметь