Функция y=n√x (n ∈ N, n ≥ 2), ее свойства и график (факультативное занятие) - Числовые функции

Цель: рассмотреть свойства и график функции

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Перечислите основные свойства и приведите график функции у = х^-n для четных n.

2. Постройте график функции

Вариант 2

1. Перечислите основные свойства и приведите график функции у = х^-n для нечетных n.

2. Постройте график функции

III. Изучение нового материала

В учебнике рассматривается только функция На наш взгляд, целесообразно расширить задачу: изучить функцию (n ∈ N, n ≥ 2) и привести ее график. При n = 3 тем самым будет рассмотрен материал учебника.

Вы уже знаете, что понятие квадратного корня возникло при решении простейшего квадратного уравнения х² = а. При этом квадратным корнем из числа а называют такое число, квадрат которого равен а. Разумеется, кроме уравнения х² = а, необходимо решать уравнения х³ = а, х⁴ = а,..., xⁿ = а. Поэтому надо ввести понятие корня любой натуральной степени n (аналогичное понятию квадратного корня).

Корнем n-й степени из числа а называют такое число, n-я степень которого равна а. Этот корень обозначают символом Причем n называют показателем корня, а - подкоренным выражением.

Пример 1

а) так как 3⁴ = 81;

б) так как (-2)³ = -8;

в) так как 0⁵ = 0.

Принято корень второй степени называть квадратным корнем, корень третьей степени - кубическим корнем.

Теперь необходимо уточнить понятие корня. Сначала рассмотрим степенную функцию у = хⁿ с нечетным показателем n. Из рис. a видно, что для любого значения а уравнение хⁿ = а имеет единственное решение Обратимся теперь к степенной функции у = хⁿ с четным показателем n (рис. б). Тогда уравнение хⁿ = a при a < 0 решений не имеет, при a = 0 имеет единственное решение х = 0, при a > 0 имеет два противоположных по знаку решения. В этом случае положительное решение обозначают символом

Пример 2

Рассмотрим уравнение х⁴ = 81. Очевидно, что такое уравнение имеет два решения х₁ = -3 и х₂ = 3, так как при подстановке этих чисел в уравнение получаем верное равенство. Учитывая, что такие решения можно записать в виде

Таким образом, выражение при a ≥ 0 имеет смысл при четном и нечетном n и значение этого выражения является неотрицательным числом. Его называют арифметическим корнем n-й степени из а. Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

Корень нечетной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметический корень из положительного числа.

Пример 3

Получаем так как

Ранее изученные свойства квадратного корня можно обобщить на случай корня n-й степени:

В равенствах 1-5 числа m и n натуральные; в равенствах 1-4 числа а, b ≥ 0, и в равенстве 4 число b ≠ 0.

Пример 4

Используя приведенные свойства, вычислим:

В заключение приведем графики функции для нечетных (а) и четных (б) значений n.

IV. Контрольные вопросы

1. Определение корня n-й степени.

2. Основные свойства корня n-й степени.

3. Графики функции для нечетных и четных значений n.

V. Задание на уроках

§ 14, № 1 (а, б); 2; 4; 7 (в, г); 8 (а, в); 10 (б); 11 (а, в); 13 (б); 15 (а, б); 19(a); 26; 27 (а, б); 28 (а).

VI. Задание на дом

§ 14, № 1 (в, г); 3; 5; 7 (а, б); 8 (б, г); 10 (г); 11 (б, г); 13 (г); 15 (в, г); 19(6); 25; 27 (в, г); 28 (б).

VII. Подведение итогов уроков