Зачетная работа по теме Системы уравнений - Системы уравнений

Цель: проверить знания учащихся по вариантам одинаковой сложности.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Варианты зачетной работы

Вариант 1

А

1. Решите систему уравнений:

2. Даша и Таня пропалывают грядку за 12 мин, а одна Даша - за 20 мин. За сколько минут пропалывает грядку одна Таня?

3. Изобразите на координатной плоскости множество решений:

а) уравнения

б) неравенства (у - 1 )(у - х) ≤ 0;

в) системы неравенств

4. Решите систему уравнений

В

5. Решите систему уравнений:

6. Семья состоит из двух человек: мужа и жены. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 60%. На сколько процентов вырос бы общий доход семьи, если бы вдвое увеличилась зарплата жены?

7. На координатной плоскости изобразите множество решений неравенства

С

8. Решите систему уравнений:

9. Найдите значение параметра, при котором система уравнений имеет ровно два решения. Найдите эти решения.

Вариант 2

А

1. Решите систему уравнений:

2. Олег и Витя вскапывают грядку за 10 мин, а один Олег - за 15 мин. За сколько минут вскапывает грядку один Витя?

3. Изобразите на координатной плоскости множество решений:

а) уравнения

б) неравенства (х + 1)(у + х) ≤ 0;

в) системы неравенств

4. Решите систему уравнений

В

5. Решите систему уравнений:

6. Семья состоит из двух человек: мужа и жены. Если бы зарплата жены увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 45%. На сколько процентов вырос бы общий доход семьи, если бы вдвое увеличилась зарплата мужа?

7. На координатной плоскости изобразите множество решений неравенства

С

8. Решите систему уравнений:

9. Найдите значение параметра, при котором система уравнений имеет ровно два решения. Найдите эти решения.

III. Ответы и решения

Вариант 1

2. 30 мин.

3. а-в - построено.

4. (1; 3).

6. На 40 %.

7. Построено.

8а. Для решения системы уравнений запишем ее в виде Так как в первом уравнении произведение множителей равно нулю, то один из них равен нулю. Получаем две системы уравнений:

откуда х = 4, у = -4 и х = -4, y = 4;

откуда х = 12, у = -4 и х = -12, y = 4;

Ответ: (4; -4), (-4; 4), (12: 4), (-12; -4).

8б. Для системы уравнений учтем, что х, у ≥ 0, и возведем в квадрат уравнения: Вычтем уравнения системы и получим: или или Так как х, у ≥ 0, то в произведении только первый множитель равен нулю, т. е. у = х. Подставим это значение в первое уравнение: х² + 5х - 6 = х², откуда 5х - 6 = 0 и х = 1,2, у = 1,2.

Ответ: (1,2; 1,2).

9. Удобнее всего исследовать систему уравнений графически. Графиком первого уравнения является окружность с центром в начале координат и радиуса Графиком второго уравнения будут две параллельные прямые: х + y = ±4 или у = -х ± 4. Очевидно, что данная система будет иметь ровно два решения, если построенные прямые будут касаться окружности. Из прямоугольного равнобедренного треугольника ОАВ получаем условие: OB = OA√2, или или 4 = 1 + а, откуда a = 3. Легко найти решения системы, т. е. координаты точек касания А и D: (2; 2) и (-2; -2).

Ответ: при a = 3, (2; 2) и (-2; -2).

Вариант 2

2. 30 мин.

3. а-в - построено.

4. (2; 6).

6. На 55%.

7. Построено.

8а. Для решения системы уравнений запишем ее в виде Так как в первом уравнении произведение множителей равно нулю, то один из них равен нулю. Получаем две системы уравнений:

откуда х = 24, у = -12 и х = -24, у = 12;

откуда х = 36, у = -12 и х = -36, у = 12.

Ответ: (24; -12), (-24; 12), (36; -12), (-36; 12).

8б. Для системы уравнений учтем, что х, у ≥ 0, и возведем в квадрат уравнения: Вычтем уравнения системы и получим: или или Так как х, у ≥ 0, то в произведении только первый множитель равен нулю, т. е. у = х. Подставим это значение в первое уравнение: х² + 4х - 7 = х², откуда 4х - 7 = 0 и x = 7/4, у = 7/4.

Ответ: x = 7/4, у = 7/4.

9. Удобнее всего исследовать систему уравнений графически. Графиком первого уравнения является окружность с центром в начале координат и радиуса Графиком второго уравнения будут две параллельные прямые: у - х = ±2 или у = х ± 2. Очевидно, что данная система будет иметь ровно два решения, если построенные прямые будут касаться окружности. Из прямоугольного равнобедренного треугольника ОАВ получаем условие: OB = OA√2, или или 1 = 1 - а, откуда а = 0. Легко найти решения системы, т. е. координаты точек касания A и D: (-1; 1) и (1; -1).

Ответ: при а = 0, (-1; 1) и (1; -1).