ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ - ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА

Цель деятельности учителя

Создать условия для выведения формул, для выражения длины окружности через ее радиус, для вычисления длины / дуги окружности с градусной мерой α

Термины и понятия

Окружность, длина дуги окружности

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют объяснять понятие длины окружности, выводить формулу для нахождения длины окружности

Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации; осознанно владеют логическими действиями.

Регулятивные: умеют контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.

Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные

ресурсы

• Задания для математического диктанта;

• загадки геометрического содержания;

• исторические сведения об окружности

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

(Ф/И)

1. Проверить выполнение домашней работы.

2. Разобрать задачи, вызвавшие наибольшие затруднения.

3. Провести математический диктант (15 мин). (Учащиеся выполняют задания на листочках и сдают на проверку учителю.)

Вариант I

1. Найдите угол правильного десятиугольника.

2. Найдите сторону правильного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 2 м.

3. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, если радиус описанной около него окружности равен 2 м.

4. Найдите площадь правильного треугольника, если расстояние от его центра до вершины равно 2 м.

5. Закончите предложение: “Угол с вершиной в центре окружности называется...”

6. Угол с вершиной в центре правильного многоугольника и сторонами, проходящими через две его соседние вершины, равен 36°. Сколько сторон имеет этот многоугольник?

7. Чему равен cos0°?

8. С помощью циркуля и линейки постройте правильный шестиугольник.

Вариант II

1. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его сторона стягивает дугу описанной окружности, равную 18°?

2. Найдите площадь квадрата, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.

3. Закончите предложение: “Кругом называется часть плоскости...”

4. Найдите сторону квадрата, если расстояние от его центра до вершины равно 2 дм.

5. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.

6. Чему равен cos0°?

7. Найдите угол правильного девятиугольника.

8. С помощью циркуля и линейки постройте правильный треугольник

II этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Вывести формулу для вычисления длины окружности

(Ф/И)

1. Отгадывание загадок.

Нет углов у меня,

И похож на блюдце я,

На тарелку и на крышку,

На кольцо, на колесо.

Кто же я такой, друзья? (Круг.)

У круга есть одна подруга,

Знакома всем её наружность.

Она идет по краю круга

И называется... (окружность).

2. Изложение материала.

Объяснение можно организовать в виде беседы. При этом можно обсудить следующие вопросы:

- Как можно измерить длину обруча?

- На доске начерчена окружность. Как измерить длину этой окружности? (Формулу, которую изучали в курсе математики 6 класса, использовать нельзя.)

Варианты ответов: а) с помощью нити; б) вписать многоугольник с достаточно большим числом сторон и найти его периметр.

3. Вывод формулы длины окружности (можно провести в виде лекции).

Пусть имеются две окружности с радиусами R₁ и R₂, а их длины равны С₁ и С₂ соответственно. Впишем в каждую из них n-угольники и найдем отношение их периметров Р₁ и Р₂. Р₁ = n ∙ а₁, Р₂ = n ∙ а₂, где а₁ и а₂ - стороны наших n-угольников. Используя формулу имеем поэтому отсюда где D₁ и D₂ - диаметры окружностей.

По свойству пропорций: так как тo справедливо равенство

Ранее было установлено, что при n → ∞ Р₁→ С₁, Р₂→ С₂, поэтому то есть отношение длины окружности к ее диаметру есть число постоянное. Это число обозначают греческой буквой π (пи).

Итак,

Формула для вычисления длины окружности: С = 2πR.

Число π является приближенным (π ≈ 22/7), его значение было найдено еще в III веке до нашей эры греческим ученым Архимедом. При решении задач чаще используют приближенное значение я, равное 3,14.

4. Историческая справка.

Многие геометрические фигуры, в том числе и окружность, были известны с давних времен. В разные времена в разных странах значения я были различны. Так, например, в Древнем Египте 3500 лет назад π равнялось 3,16; у древних римлян - 3,12. Согласно подсчетам Архимеда, π = 22/7. Для запоминания этого числа может быть полезно стихотворение:

Двадцать две совы скучали

На больших сухих суках,

Двадцать две совы мечтали

О семи больших мышах:

О мышах довольно юрких

В аккуратных серых шкурках.

Слюнки капали с усов

У огромных серых сов.

Вот еще несколько фактов из истории числа π.

Обозначение числа происходит от греческого perijerio “переферия”, что в переводе означает “окружность”. Впервые обозначение использовал английский математик Уильямс Джонс в 1706 году.

В России со времен Петра I занимались геометрическими расчетами в астрономии, машиностроении, корабельном деле. Значение числа π - 3,1415926. Для его запоминания придумано двустишие в учебнике Магницкого, написанное по правилам старой русской орфографии: “Кто и шутя и скоро пожелать пи узнать число ужъ знаетъ”.

У числа π есть день рождения, он отмечается 14 марта (этот день записывается в американском формате дат (месяц/день) как 3,14) и начинается в 1.59. Еще одной датой, связанной с числом я, является 22 июля, так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7. В этот день в Италии едят ПИццу, в Германии свиной - шПИк, в Англии жареную - ПИкшу, во Франции - что-нибудь ПИкантное, в России стряпают ПИроги.

5. Вывод формулы длины дуги окружности (можно провести в виде ответов на вопросы).

- Какую часть окружности составляет дуга в 1°?

- Чему равна длина дуги в 1 °?

- Чему равна длина дуги в α.

Вывод: длина дуги с градусной мерой α равна

III этап. Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Закрепить полученные знания

(Ф/И)

1. Решить задачу № 1101 (таблицу начертить заранее на доске).

2. Решить задачи № 1102 и 1103 (устно).

3. Решить задачу № 1109 (а, б).

4. Решить задачу № 1111 (использовать рис. 316 на с. 282)

IV этап. Итоги урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

- Какую формулу вспомнили и доказали на уроке?

- Чему равно число Архимеда?

(И) Домашнее задание: изучить материал пункта 114; решить задачи № 1109 (в, г), 1106, 1104 (а), 1105 (а)