Применение теоремы о вписанных углах и ее следствий в задачах (домашняя самостоятельная работа) - ПОДОБИЕ ФИГУР - САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ - ГЕОМЕТРИЯ

Вариант 1

1. Два угла треугольника равны 70° и 10°.

а) Определите, в каком отношении вершины треугольника делят описанную окружность.

б) Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

2. Стороны АВ, ВС и CD вписанного четырехугольника ABCD стягивают дуги, градусные меры которых относятся как 3:6:8. Найдите углы четырехугольника, если сторона AD стягивает дугу в 20°.

3. Биссектриса угла В треугольника АВС пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что треугольник ADC — равнобедренный.

4. Постройте прямоугольный треугольник по медиане и высоте, проведенным к гипотенузе.

5. Разность между медианой и высотой, проведенными к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 2 см. Основание данной высоты отстоит от центра окружности, описанной около треугольника, на 14 см. Найдите периметр треугольника.

6. Хорда АВ делит дугу окружности в отношении 2:7. Через точку А проведена касательная к окружности. Найдите углы, которые она образует с данной хордой.

7. Из точки вне окружности проведена секущая, пересекающая окружность в точках, удаленных от данной на 24 см и 40 см. Расстояние от данной точки до центра окружности равно 34 см. Найдите радиус окружности.

8. Из точки вне окружности проведена касательная длиной 10 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от точки до окружности равно 5 см.

Вариант 2

1. Углы треугольника относятся как 7:5:6.

а) Определите, под каким углом видны стороны треугольника из центра описанной окружности.

б) Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

2. Стороны АВ, ВС и CD вписанного четырехугольника ABCD стягивают дуги, градусные меры которых относятся как 7:8:20. Найдите углы четырехугольника, если сторона AD стягивает дугу в 10°.

3. В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, диагональ BD делит угол D пополам. Докажите, что АВ = ВС.

4. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и проекции одного из катетов на гипотенузу.

5. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, на 9 см больше своей проекции на гипотенузу. Вершина прямого угла отстоит от гипотенузы на 12 см. Найдите периметр треугольника.

6. Отрезок АВ — диаметр окружности. На луче АВ вне данной окружности выбрана точка М, через которую проведена касательная МС (С — точка касания). Найдите ∠BAC, если ∠ACM = 130°.

7. Из точки вне окружности проведена секущая, образующая в окружности хорду АВ длиной 16 см. Кратчайшее расстояние от данной точки до окружности равно 20 см, а до центра окружности — 34 см. Найдите расстояния от концов хорды АВ до данной точки.

8. Из точки вне окружности проведена касательная длиной 4 см. Найдите расстояние от данной точки до окружности, если радиус окружности равен 3 см.