Путешествие в историю математики - Свечников А. А. 1995

Отрицательные числа с трудом проникают в математику

В практической деятельности при измерениях и делении человек познакомился с дробными числа­ми значительно раньше, чем с чи­слами отрицательными. К отрицательным числам математики по­дошли при решении уравнений в тех случаях, когда получали значения неизвестных со зна­ком минус; например, при реше­нии уравнения 8х — 16 = 9х + 11; -16 - 11 = 9х - 8х; - 27 = х. Они об­ратились к исследованию дробей, когда потребовалось распростра­нить действие деления на любые натуральные числа. Отрицатель­ные же числа математики стали использовать, когда при решении уравнений возникали случаи вы­читания из меньшего числа боль­шего, т. е. когда требовалось рас­пространить действие вычитание на все числа, независимо от зна­чения вычитаемого и уменьшае­мого.

Древние греки к отрицатель­ным числам не обращались. Но уже Диофант пришел к необходи­мости введения действий с отри­цательными числами при умноже­нии выражений, подобных следу­ющим: (3х - 2) (3х - 2) = 9х² - 12х + 4. Однако действий с от­дельно взятыми отрицательными числами он не производил и отри­цательные ответы при решении квадратных уравнений не принимал во внимание.

Впервые идея о самостоятель­ных отрицательных числах встре­чается у математиков Индии — Ариабхаты (V в.), Брахмагупты (VII в.) и других. В их работах упоминаются отдельно стоящие отрицательные числа. У Брахма­гупты даже приведены правила сложения и вычитания отрица­тельных чисел. Причем он рас­сматривает отрицательные числа как долг. В XII в. индийский мате­матик Бхаскара указывает прави­ла умножения и деления: «Произ­ведение двух имуществ или двух долгов есть имущество; произве­дение имущества на долг есть убыток. То же правило имеет ме­сто и при делении». Тем не менее к действиям с отрицательны­ми числами индийские математи­ки относились с недоверием. «Лю­ди их не одобряют», — говорит Бхаскара. Довольно долго ин­дийские математики избегали пользоваться отрицательными числами. В Европе еще в XVI в. отрицательные числа считали аб­сурдными.

Окончательно ввел в матема­тику наряду с другими отрица­тельные числа француз Рене Де­карт (1596 — 1650). Он дал им гео­метрическое толкование и опре­делил место и порядок следова­ния на числовой оси.

Такое истолкование положи­тельных и отрицательных чисел привело к более ясному понима­нию отрицательных чисел. Одна­ко по традиции их продолжали называть ложными. Обоснование правил умножения и деления отрицательных чисел еще долгое время вызывало споры у евро­пейских математиков. За право­мерность введения отрицатель­ных чисел пришлось вступиться и знаменитому немецкому матема­тику Карлу Гауссу. Он писал: «Нисколько не опасаются вво­дить в общую арифметику дроб­ные числа, хотя существует так много пересчитываемых вещей, в применении к которым дробь не имеет никакого смысла. Настоль­ко же не следует отказывать отрицательным числам в правах, равных с положительными, пото­му только, что многие вещи не до­пускают противоположения. Ре­альность отрицательных чисел достаточно оправдывается тем, что в бесчисленных других случа­ях они находят подходящую осно­ву».

Обозначают отрицательные чи­сла цифрами со знаком — (минус). Нуль, отрицательные и положи­тельные числа целые и дробные в научном толковании называют рациональными числами.

Рене Декарт.

Введение отрицательных чисел устраняет ряд трудностей, возни­кавших при решении уравнений.

Правила действий с отрицатель­ными числами следуют из необхо­димости согласования результа­тов действий с теми, которые по­лучали при операциях с натуральными и дробными неотрицатель­ными числами. Все правила дей­ствий с отрицательными числами могут быть установлены при рас­смотрении простейших уравне­ний, например: 11 - 5 = 10х - 7х; 6 = 3х; х = 2, но если записать ина­че, то 7х - 10х = 5 - 11, и тогда -3х = -6; х = -6: (-3) = 2. Мы убе­дились, что правило деления двух отрицательных чисел не противо­речит тем правилам, которые при­меняются для положительных чи­сел.