Путешествие в историю математики - Свечников А. А. 1995
Как найти сумму ряда чисел, расположенных по порядку?
Есть еще очень интересное свойство рассмотренных выше рядов чисел.
Рассказывают, что, когда будущий великий немецкий математик Карл Гаусс (1777 — 1855) учился в начальных классах, преподаватель предложил ученикам самостоятельно найти сумму ряда натуральных чисел от 1 до 100. Он предполагал, что учащиеся будут складывать эти числа по порядку, на что потребуется не менее 10 минут. Каково же было его удивление, когда маленький Карл через 1 — 2 минуты заявил, что задание он выполнил, и дал правильный ответ — 5050. На просьбу учителя дать объяснение ученик ответил: «Я заметил, что 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и т. д., т. е. пара равно отстоящих от краев ряда чисел дает 101 и последняя пара средних чисел 50 + 51 также дает 101. Числа, взятые по паре с начала и с конца ряда, встречаются в середине после пятидесяти сложений этих пар. Поэтому надо 101 • 50 = 5050. Это и будет суммой всех ста чисел»».
Карл Гаусс.
Обратимся к другому ряду чисел. Надо найти сумму ряда из 20 нечетных чисел, т. е. 1 + 3 + 5 + 7+... + 35 + 37 + 39. Воспользовавшись приемом Гаусса, сложите 1 + 39 = 40, 3 и 37, 5 и 35. Каждый раз будут получаться равные суммы, составляющие число 40. Всего чисел дано 20, следовательно, пар будет 10. Поэтому сумма этого ряда составит 40 • 10 = 400. Проверьте сложением.
Сделайте такой же подсчет двумя способами для ряда 20 пар четных чисел, т. е. найдите 2 + 4 + 6 + ... + 34 + 36 + 38 + 40 = ? (первый способ).
Сумма 20 первых нечетных чисел равна 400. Так как каждое четное число больше предшествующего ему нечетного числа на 1, а всех чисел дано 20, то сумма 20 четных чисел будет больше суммы 20 нечетных чисел на 20. 400 + 20 = 420 (второй способ). Проверьте первым способом.
Выпишите из какого-либо числового ряда три соседних числа. Среднее из них будет выражать половину суммы двух крайних. Например, для 13, 15, 17 полусумма двух крайних чисел будет 15 = (13 + 17) : 2. А сумма всех трех чисел составит 15 • 3 = 45. Проверьте! Для чисел натурального ряда 32, 33, 34 — (32 + 34) : 2 = 33, а сумма трех чисел 33 • 3 = 99. Можно выписать числа из натурального ряда, не соседние, а разделенные одинаковыми промежутками в два, три (или более) числа. И для этих трех чисел указанное свойство будет справедливо. Проверьте это для чисел натурального ряда 62, 67, 72 (здесь промежутки между числами равны пяти).