Путешествие в историю математики - Свечников А. А. 1995

Архимед

В Средиземном море есть остров Сицилия. Прошло уже больше двадцати двух столетий с тех пор, как на этом острове в городе Си­ракузах в греческой семье родил­ся мальчик, который впослед­ствии под именем Архимеда стал известен всему миру как величай­ший математик.

Отец мальчика Фидий — выда­ющийся для того времени астро­ном и математик — много внима­ния уделял воспитанию сына. Архимед развивался необычайно быстро, впитывая все, чему учил его отец. Довольно скоро настало время, когда в своих познаниях ученик перерос учителя. Тогда Архимед с согласия своего отца отправился в Александрию — ми­ровой центр науки и культуры.

В Александрийской академии Архимед вместе с другими моло­дыми людьми продолжил образо­вание у самых знаменитых ученых того времени. Он внимательно и прилежно изучил многие рукопи­си из семиста тысяч, хранившихся в Александрийской библиотеке. Постигнув высоты науки древних мудрецов, Архимед возвратился в родные Сиракузы. Здесь он на­шел широкое поле деятельности для пользы своего отечества. Не­обыкновенная работоспособ­ность, глубокие знания позволили Архимеду сделать ряд замеча­тельных открытий и изобретений. Он изготовил прибор и с его по­мощью измерил поперечник (диа­метр) Солнца. Сделал небесный глобус, который вращался струей падающей воды. На этом глобусе можно было наблюдать движение планет, солнечные и лунные за­тмения, смену фаз Луны. Архимед руководил постройкой машины «улитка», которая орошала поля; изобрел винт, вращая который можно было перекачивать по тру­бе жидкость (винт, подобный Архимедову, используется в виде шнека в современных мясорубках и в ряде машин), разработал си­стему блоков и рычагов, которая позволяла передвигать громад­ные тяжести. Это далеко не пол­ный перечень изобретений заме­чательного ученого. Архимеду приписывают крылатую фразу: «Дайте мне точку опоры — я по­верну Землю». До нас дошло 9 математических сочинений Архиме­да. Ряд его работ имеют вид по­сланий к друзьям и коллегам. Как физик Архимед открыл закон, устанавливающий условия, при которых тело, погруженное в жидкость, плавает или тонет, а также обосновал закон рычага.

Своими трудами и открытиями ученый так поразил своих современников, что о нем сложили ле­генды. В одной из них говорится, что Архимед, с помощью создан­ных им механизмов, легким дви­жением руки спустил с берега в воду тяжелый корабль, который не могли сдвинуть с места не­сколько десятков рабочих. В дру­гой легенде сказано, что посред­ством многих зеркал Архимед на­правил солнечные лучи на враже­ский корабль, и он вспыхнул. Огонь перекинулся на другие су­да, в результате сгорел весь рим­ский флот. В то время римляне вели войну с сицилийским горо­дом-государством Сиракузы и в продолжение трех лет не могли взять главный город. Оборону Си­ракуз возглавлял Архимед. Под его руководством были изготов­лены разнообразные невиданные до тех пор метательные орудия. Во время осады Сиракуз мощные метательные машины забросали осаждавших город римлян тяже­лыми камнями. Предполагая, что от камней можно укрыться у са­мых стен города, вражеские вои­ны кинулись туда. В это время легкие метательные машины близкого действия стали пора­жать их градом ядер. Попытка по­дойти к городу с моря также не удалась. Мощные подъемные механизмы захватывали корабли крюками, поднимали их вверх, а затем бросали так, что карабли переворачивались и тонули. Рим­ляне вынуждены были отказать­ся от штурма города. Только по­сле длительной осады Сиракузы вследствие измены были взяты римскими войсками в 212 г. до н. э.

Архимед был убит римским вои­ном в то время, когда он чертил на песке геометрические фигуры, пытаясь отыскать новые их свой­ства.

В наши дни еще довольно часто говорят: «Звезд на небе, как пес­чинок в море: их не счесть». А вот Архимед решил пересчитать все песчинки не только в море, но и во Вселенной. Этот подсчет он опи­сал в своей работе «Псаммит», что в переводе значит «исчисле­ние песчинок».

Во времена Архимеда пользо­вались изобретенной в Греции ал­фавитной нумерацией. Цифры обозначали буквами алфавита, а над ними ставили короткие чер­точки, чтобы не путать цифры с буквами.

Первые по порядку 9 букв алфавита обозначали числа 1 — 9. Например:

и т. д. Следующие за этими буква­ми 9 букв обозначали числами 10, 20, 30 и т. д. Число 10 000 называ­ли мириада и обозначали 20 000 обозначали. Таким способом можно было записать все числа до мириады мириад (едини­ца с 8 нулями, или 10⁸). Более крупными числами пользовались редко, и поэтому они названий не имели.

Архимед разработал особую си­стему для записи сколь угодно больших чисел и изложил ее в своем сочинении «Псаммит». В нем он предположил, что Вселен­ная — это сфера, т. е. имеет фор­му шара с поперечником (диаме­тром) в 1000 раз большим, чем расстояние от Земли до Солнца. Он вычислил расстояние от Зем­ли до Солнца, а затем и объем Вселенной.

Представив, что в маковом зер­нышке (а оно очень мало) содер­жится мириада песчинок, Архи­мед подсчитал, сколько песчинок можно вместить в сферу, диаметр которой в тысячу раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца.

Наибольшая трудность состо­яла в том, как выразить это неве­роятно громадное число знаками, принятыми в счислении того вре­мени. Архимеду пришлось приду­мать особую систему счисления.

Все числа от единицы до мириа­ды (10 000) Архимед назвал числа­ми первыми. Иначе говоря, это пер­вый класс в его системе. Мириаду мириад (10 000 • 10 000 = 10⁸) он назвал единицей чисел вторых — это второй класс в его системе. Ми­риаду мириад вторых чисел 10¹⁶ (10 000 • 10 000 • 10 000 • 10 000) он назвал единицей чисел третьих. Как видно, уже это число содер­жит единицу с 16 нулями, т. е. 10 квадриллионов.

Развивая свою систему дальше и продолжая подсчет, Архимед сумел показать, что таким образом можно выразить сколь угодно большие числа. Он определил, что во все мировое пространство, т. е. в сферу с диаметром, равным 1000 расстояний от Земли до Солнца, можно вместить мель­чайших песчинок не больше чи­сла, равного единице с шестьюде­сятью тремя нулями (10⁶³). Про­должая построение своей систе­мы, Архимед показал, как расширить принятую в то время систему нумерации, чтобы с ее помощью можно было записывать сколь угодно большие числа.

Архимед решил немало сложней­ших проблем своего времени в ме­ханике, математике, астрономии.

Великий греческий ученый стал первооснователем начал матема­тической физики и математичес­кого анализа.

Упражнения и задачи

1. Прочитайте эти числа и запишите их в десятичной нумерации: поверхность зем­ного шара составляет 510 • 10⁶ км²; объем земного шара равен 1083 • 10⁹ км³; среднее удаление Земли от Солнца — 149,5 • 10⁶ км.

2. Диаметр Солнца в 109 раз больше диаметра Земли. Радиус Земли — 6371 км. Найдите приближенно диаметр Солнца в километрах.

Ответ: ≈ 1389000 км = ≈13,9 • 106 км.

3. Число 142 857 имеет интересное свойство. Если его умножать последова­тельно на 2, 3, 4, 5, 6 и выписать в столбик все произведения, то можно заметить, как чередуются цифры в этих произведе­ниях. Проверьте!

Ответ:

142 857 • 2 = 285 714;

142 857 • 3 = 428 571;

142 857 • 4 = 571 428 (и т. д.).

4. Чем интересны произведения следу­ющих чисел: 1 • 91; 2 • 91; 3 • 91; 8 • 91; 9 • 91 ?

Указание. Выпишите их в столбик и проследите порядок изменения цифр.

5. Сколько трехзначных чисел можно записать цифрами 2, 3, 4, 5?

Ответ: Шестнадцать (234, 235, 254, 253, 345, 342, 354, 352 и т. д.).