Кривые второго порядка - АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Общее уравнение кривых второго порядка имеет вид Ах2 + Вху + Су2 + Dx + Еу + F = 0.

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Уравнение эллипса Точки F1 (-c; 0) и F2(c; 0) — фокусы эллипса.

Рис. 3

Величины а и b называются, соответственно, большой и малой полуосью эллипса.

Соотношение lF1Ml + lF2Ml = 2а выполняется для любой точки М эллипса, b2 = с2 - а2.

Величина называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует степень сжатия или растяжения эллипса вдоль оси ОY. Чем меньше эксцентриситет, тем эллипс более вытянут вдоль оси ОY.

Полагая а = b, получим уравнение окружности радиуса а: х2 + у2 = а.

Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых разность расстояний до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Рис. 4

Уравнение гиперболы Фокусы гиперболы располагаются в точках F1(-с; 0) и F2(c; 0), b2 = с2 - а2.

Соотношение lF1Ml - lF2Ml = 2а выполняется для любой точки М эллипса.

Прямые изображенные на рисунке пунктирной линией, к которым приближается гипербола по мере удаления от начала координат, называютсяасимптотами гиперболы.

Величина называется эксцентриситетом гиперболы. Эксцентриситет характеризует степень сжатия или растяжения гиперболы вдоль оси ОY.

Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, одинаково удаленных от заданной прямой, называемой директрисой, и от данной точки, называемой фокусом.

Рис. 5

Уравнение параболы у2 = 2рх, где р — параметр параболы.

Фокус параболы расположен в точке F (p/2; 0), уравнение директрисы х = -p/2.

Для любой точки М параболы выполняется соотношение |КМ| = |MF|.