Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка - ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

8.6. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

В дальнейшем, рассматривая дифференциальные уравнения высших порядков, ограничимся уравнениями второго порядка в силу того, что чаще всего на практике встречаются именно дифференциальные уравнения второго порядка.

1. Уравнение, не содержащее явно неизвестной функции y(х):

F(x, у’, у’’) = 0.

Для понижения порядка данного уравнения введем новую неизвестную функцию z(x) = у’(х). В результате исходное дифференциальное уравнение примет вид F(x, z, z’) = 0, решая которое найдем z = φ(x, C1) .

Учитывая, что у'(х) = z(x) = φ(х, C1), получим

Пример. Найдем общее решение дифференциального уравнения х ∙ у'' = у'.

Сделав замену неизвестной функции z(x) = у'(х), получим уравнение x ∙ z' = z, которое является уравнением с разделяющимися переменными:

2. Уравнение, не содержащее независимой переменной х:

F(y, y’, y’’) = 0 .

Введем новую неизвестную функцию р(у(х)) = у' и примем у за независимую переменную. Тогда у’’ = р’ ∙ у’ = р’ ∙ р и исходное дифференциальное уравнение будет иметь вид F(y, р, р’ ∙ р) = 0, которое является уравнением первого порядка относительно неизвестной функции р(у). Определив общее решение данного уравнения р = р(у, С1), получим дифференциальное уравнение для определения у: dy/dx = р(у, С1). Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, метод решения которого был рассмотрен выше:

Проинтегрировав последнее соотношение, получим общее решение исходного дифференциального уравнения:

Пример. уу’’ –у’2 = 0. Введем новую неизвестную функцию р(у(х)) = у’ и, учитывая, что у’’ = р’ ∙ р, преобразуем дифференциальное уравнение к виду ур’р - р2 = 0. Далее имеем р(ур’ - р) = 0, из чего следует два уравнения р = 0 или ур’ - р = 0.

Первое уравнение при переходе к исходной неизвестной функции принимает вид у’ = 0, которое имеет решение у = С. Это особое решение исходного уравнения.

Второе уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными:

Далее, возвращаясь к исходной неизвестной функции, получим дифференциальное уравнение dy/dx = C1y, которое тоже является уравнением с разделяющимися переменными:

Вводя новую произвольную постоянную получим окончательный вид общего решения исходного дифференциального уравнения: