Непрерывность функций - ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Пусть функция f(х) определена на множестве X и точка x0 является предельной точкой этого множества. Дадим приращение ∆х этому значению аргумента х0 + ∆х (∆х — некоторое число, причем такое, что точка х0 + ∆х тоже принадлежит множеству X).

Приращением функции f(x) в точке х0 называется разность ∆f(х0) = f(х0 + ∆х) - f(х0).

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента ∆х соответствует бесконечно малое приращение функции ∆f(х0)

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке и предел функции при х → х0 равен значению функции в точке х0

Приведенные выше два определения непрерывности функции в точке являются эквивалентными, то есть если функция является непрерывной по одному из этих определений, то она будет непрерывной и в силу другого определения.

Функция называется непрерывной на некотором множестве X, если она является непрерывной в каждой точке этого множества.

Чтобы проще можно было представить себе понятие непрерывной функции, следует запомнить, что график функции, непрерывной на некотором множестве, можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.