Предел функции - ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Говорят, что на множестве X задана функция y, с областью изменения Y(у ∈ Y), если задан закон или правило, по которому каждому числу х из множества Х(х ∈ X) ставится в соответствие определенное число у из множества Y.

Множество X называется областью определения функции, х — независимая переменная (аргумент).

Тот факт, что зависимая переменная у является функцией независимой переменной х, обозначается как у = у(х).

Графиком функции называется множество точек координатной плоскости с координатами (х, у(х)).

Пусть задана функция у = у(u), с областью определения u ∈ U и областью изменения у ∈ Y и функция u = φ(х), с областью определения х ∈ X и областью изменения U. Тогда каждому х ∈X можно поставить в соответствие определенное число у из множества Y по закону у = у(φ(x)). В этом случае говорят, что на множестве X определена сложная функция (или суперпозиция функций у = у(u) и u = φ(x)) у = y(φ(x)) (то есть функция, у которой аргументом является другая функция).

Пример. Пусть а u = φ(x) = cos х. Тогда получим сложную функцию

Пусть на множестве X определена некоторая функция у = f(x) с областью изменения Y. Если каждому значению y ∈ Y можно поставить в соответствие единственное значение х ∈ X, то говорят, что на множестве Y определена функция х = f-1(y) с областью изменения X, которая называется обратной по отношению к функции у = f(x).

Пример. Функция у = sin x, определенная на множестве [-π/2; π/2], имеет обратную функцию х = arcsin у, определенную на множестве [-1; 1].

Функция f(х) называется ограниченной на некотором множестве X, если существует такое число М, что для всех х ∈ X справедливо соотношение |f(x)| ≤ M.

3.1. Предел функции

Дельта-окрестностью Uδ(a) точки а называется множество точек х, удовлетворяющих неравенству |х - а| < δ или, что то же самое,

Другими словами, это множество точек, удаленных от точки а на расстояние меньшее, чем δ.

Точка а называется предельной точкой множества X, если в любой ее дельта-окрестности Uδ(a) содержится бесконечное множество точек из X.

Пусть на некотором множестве X определена функция f(x) и точка а является предельной точкой множества X.

Определение. Говорят, что функция f(x) имеет предел, равный А, при х, стремящемся к а (х → а), если для любого сколь угодно малого положительного числа е найдется такое положительное число 6, что неравенство |f(x) - А| < ε будет выполняться, как только |х - а| < δ

Из определения следует, что предел постоянной величины равен самой величине

Иногда приходится рассматривать пределы, когда переменная х стремится к бесконечности (х → ∞), т. е. принимает сколь угодно большие положительные или сколь угодно большие по модулю отрицательные значения. В этом случае определение предела несколько изменится.

Определение. Говорят, что функция f(x) имеет предел, равный А, при х, стремящемся к ∞, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое положительное число N > 0, что неравенство |f(x) - А| < ε будет выполняться, как только |х| > N:

Функция α(х) называется бесконечно малой при х → а, если

То есть бесконечно малая величина — это такая величина, которая в процессе своего изменения может принимать сколь угодно малые значения. Говоря, что некоторая величина является бесконечно малой, надо указывать, к чему при этом должен стремиться ее аргумент х. Например, величина α(x) = sin(x) будет бесконечно малой при х → 0 но эта величина не будет бесконечно малой при х → π/2 так как