Треугольник - Геометрия - Повышенный уровень - Сборник задач

2.8. Геометрия

2.8.2. Треугольник

625. Треугольник АВС — прямоугольный, СН — его высота (см. рис. 239). Докажите, что треугольники АВС и ВСН подобны.

Рис. 239

626. На стороне АС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону АВ в точке К. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВСК, если АС = 13, АК = 5.

627. Точки М, N, Р — середины сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС соответственно (см. рис. 240). Докажите, что треугольник MNP подобен треугольнику АВС.

Рис. 240

628. Две стороны треугольника равны 1 см и √15 см, а медиана к третьей стороне равна 2 см. Найдите (5 — √15)р, где р — периметр треугольника.

629. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) точки М и N — середины боковых сторон. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник MBN, если периметр треугольника АВС равен 32, а длина отрезка MN равна 6.

630. Отрезки АВ и CD лежат на параллельных прямых, AD и ВС пересекаются в точке О, при этом ВО = ОС. Докажите равенство треугольников АОВ и COD.

631. В треугольнике АВС проведена медиана AD. Найдите BL, если AL — высота треугольника и АВ = 1 см, АС = √15 см, AD = 2 см.

632. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) длина средней линии MN равна 6 (М ∈ АВ, N ∈ ВС), a sin ∠BAC = 4/5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник MBN.

633. Докажите, что медианы, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

634. В прямоугольном треугольнике АВС (∠С = 90°) проведена медиана CD, длина которой 2,5 см. Найдите периметр треугольника, если один из катетов на 1 см меньше гипотенузы.

635. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна 12. Расстояние от центра описанной около этого треугольника окружности до этого катета равно 2,5. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.

636. В треугольнике MNP проведена медиана MD. Найдите её длину, если MN = 1, МР = √15 и cos ∠MNP = 1/4.

637. Тангенс острого угла ВАС прямоугольного треугольника АВС (∠С = 90°) равен 5/12, а расстояние от центра описанной около этого треугольника окружности до катета АС равно 2,5. Найдите периметр этого треугольника.

638. Длины двух сторон треугольника равны 27 и 29. Длина медианы, проведенной к третьей стороне, равна 26. Найдите высоту треугольника, проведенную к стороне длиной 27.

639. Длины двух сторон остроугольного треугольника равны √10 и √13. Найдите длину третьей стороны, если она равна длине проведенной к ней высоты.

640. В треугольнике АВС АВ = 5, АС = 2, ВС = 4. Точка К лежит на стороне ВС и ВК = 1, точка М лежит на стороне АВ и ВМ = 1,25 (см. рис. 241). Докажите, что МК || АС.

Рис. 241

641. В равнобедренном треугольнике проведена медиана к боковой стороне, равной 4. Найдите квадрат длины основания треугольника, если длина медианы равна 3.

642. Треугольник MNK образован средними линиями треугольника АВС (см. рис. 242). Докажите, что все его углы равны соответствующим углам треугольника АВС.

Рис. 242

643. Основание равнобедренного треугольника равно 30, а высота, проведённая к боковой стороне, равна 24. Найдите длину боковой стороны.

644. Биссектриса прямого угла треугольника делит его на два равнобедренных треугольника. Докажите, что и исходный треугольник равнобедренный.

645. Медиана, проведенная к одной из боковых сторон равнобедренного треугольника, делит его периметр на части длиной 15 и 6. Найдите длину боковой стороны.