Задания с параметром - Повышенный уровень - Сборник задач

2.7. Задания с параметром

523. Определите количество корней уравнения |х² — 4х — 3| = а при всех положительных значениях параметра а.

524. Определите количество корней уравнения |2х² + 4х — 7| = а при всех положительных значениях параметра а.

525. Найдите все положительные значения к, при которых прямая у = kх + 1 пересекает в двух различных точках ломаную, заданную условиями

526. Найдите все отрицательные значения к, при которых прямая у = кх пересекает в двух различных точках ломаную, заданную условиями

527. При каких значениях р прямая у = 0,3x + р образует с осями координат треугольник, площадь которого равна 60 кв. ед.?

528. При каких значениях p прямая у = —2x + р образует с осями координат треугольник, площадь которого равна 49 кв. ед.?

529. При каких значениях n прямая у = —1,5x + n образует с осями координат треугольник, площадь которого равна 75?

530. При каких значениях m прямая у = 7х — 2m образует с осями координат треугольник, площадь которого равна 14?

531. При каких значениях k число 2 находится между корнями уравнения

532. При каких значениях k число 3 находится между корнями уравнения

533. Найдите множество значений параметра l, при которых число 2 находится между корнями уравнения

534. Найдите все k, при которых прямая у = kх + 1 имела бы ровно две общие точки с параболой у = kх² — (k — 3)х + k и при этом не пересекала бы параболу

535. Докажите, что уравнение не имеет корней ни при каких значениях параметра а.

536. Докажите, что уравнение не имеет корней ни при каких значениях параметра а.

537. Найдите значения параметров k и а ≠ 0, при которых прямая у = k(х—а) касается параболы у = ах² и ордината точки касания равна 4.

538. Найдите значения параметров k и b, при которых прямая у = kх + b касается параболы у = х² + bх и абсцисса точки касания равна 2.

539. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение х² — (а + 4)х + 2а + 5 = 0 имеет два различных корня, а сумма величин, обратных к его корням, не меньше —2.

540. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение ах² — (2а + 3)х + а + 2 = 0 имеет два различных корня, а сумма квадратов его корней больше 3.

541. Среднее арифметическое девяти чисел равно 17, а среднее арифметическое других одиннадцати чисел равно 7. Найдите среднее арифметическое всех двадцати чисел.

542. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных 15.

543. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных 14.

544. Среднее геометрическое двух чисел равно 243, а среднее геометрическое трёх других чисел равно 32. Найдите среднее геометрическое всех пяти чисел (средним геометрическим п положительных чисел называется арифметический корень n-ой степени из произведения этих чисел).

545. Найдите все значения а, при которых множество значений функции у = х² — (2а — 1)x + 3а совпадает с промежутком [1,5; +∞).

546. Найдите все значения m, при которых окружность х² + у² = 10 не имеет общих точек с прямой mх + у = 10.

547. Найдите все целые значения а, при которых вершина параболы у = 2х² + ax + 1 лежит выше прямой у = х.

548. Найдите все целые значения а, при которых вершина параболы у = х² + ах — 2 лежит ниже прямой у = 2х.

549. Найдите все значения т, при которых парабола у = х² — х + 1 имеет с прямой х + mу — 1 = 0 единственную общую точку.

550. Найдите все значения т, при которых парабола у = х² + х +1 имеет с прямой mу — х — 1 = 0 единственную общую точку.

551. При каких а наименьшее значение функции у = х² — 2ах + 43 на [—2; +∞) равно 7?

552. При каких а наибольшее значение функции у = —х² + 2ах — 71 на [-3; +∞) равно 10?

553. При каких а число 3 заключено между корнями уравнения х² — 2 ах + а² — 1 = 0?

554. При каких а корни уравнения х² — бах + 9а² — 2а + 2 = 0 больше 3?

555. При каких значениях m вершина параболы у = mх² — 7х + 4m лежит во второй координатной четверти?

556. При каких целых значениях параметра с уравнение имеет хотя бы один корень?

557. При каких целых значениях параметра с уравнение имеет хотя бы один корень?

558. Найдите все значения а, при которых точка пересечения прямых 3х + ay + 1 = 0 и 2x — 3у — 4 = 0 находится в третьей координатной четверти.

559. Найдите все значения а, при которых точка пересечения прямых х + 5у — 3 = 0 и ах — 2у — 1 = 0 находится в четвёртой координатной четверти.

560. Найдите число b, при котором один из корней уравнения х³ — 5х² + 3х + b = 0 равен 2 + √5.

561. Определите уравнения касательных к окружности х² + у² = 5, проходящих через точку М(3; 1).

562. Найдите все значения параметра а, при которых график функции у = ах² + 2х — а + 2 пересекает ось Ох в одной точке.

563. Найдите все значения параметра а, при которых точка пересечения прямых у = 2х + 3 и у = 2а — 3х лежит выше прямой у = х.

564. Найдите все значения параметра а, при которых точки А(1, 2), В(3, а + 1), С(а, 4) лежат на одной прямой.

565. Найдите все значения параметра а, при которых точка пересечения прямых у = 5х — 3 и у = а + 1 — 2х лежит ниже прямой у = —х.

566. Определите количество корней уравнения |х² — 6х + 4| = а при всех неотрицательных значениях параметра а.

567. Определите количество корней уравнения |х² — 4x| = а при всех неотрицательных значениях параметра а.

568. При каких целых значениях n решение системы удовлетворяет условиям x > 0, у > 0?

569. При каких целых значениях п решение системы удовлетворяет условиям x > 0, у > 0?

570. Найдите все значения а, при которых график функции у = ах² — 6x + а расположен ниже оси абсцисс.

571. Найдите все значения а, при которых график функции у = ах² — 2аx + 3 расположен выше оси абсцисс.

572. Найдите все значения а, при которых график функции у = ах² — 4х + а расположен выше оси абсцисс.

573. Найдите все значения а, при которых график функции у = ах² — 8x + а расположен ниже оси абсцисс.

574. Даны две параболы у₁ = x² + bх + с, у₂ = —x² + kx + l и одна из точек их пересечения A(1; 2). Проекция вершины второй параболы на ось Ох на 1 ед. правее, чем проекция вершины первой параболы на эту же ось, и первая парабола пересекает ось Ох в точке x = 2. Найдите коэффициенты k, l.

575. Даны две параболы y₁ = x² + bx + с, у₂ = -x² + dx + f и одна из точек их пересечения A(2; 3). Проекция вершины второй параболы на ось Ох на 2 ед. правее, чем проекция вершины первой параболы на эту же ось, и вторая парабола пересекает ось Ох в точке x = 3. Найдите коэффициенты b, с.

576. Парабола у = x² + bх + с, симметричная относительно прямой x = —2, касается прямой у = 2x + 3. Найдите коэффициенты b, с.

577. Парабола у = x² + bх + с, симметричная относительно прямой x = 3, касается прямой у = 2x - 5. Найдите коэффициенты b, с.

578. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение x² — 2bх + b + 6 = 0 имеет только отрицательные корни.

579. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение x² — 2bж + b + 6 = 0 имеет только положительные корни.

580. Постройте график функции у = f(x), где

При каких значениях m прямая у = m имеет с графиком этой функции две общие точки?

581. Постройте график функции у = f(x), где

При каких значениях m прямая у = m имеет с графиком этой функции три общие точки?

582. Постройте график функции у = f(x), где

При каких значениях m прямая у = m имеет с графиком этой функции одну общую точку?

583. Постройте график функции у = f(x), где

При каких значениях m прямая у = m имеет с графиком этой функции три общие точки?

584. При каком наибольшем целом значении k прямая у = kх + 4 не пересекает параболу у = 3 — 2х — х²?

585. При каком значении k прямая у = kх — 3 имеет с параболой у = x² — 2х + 1 одну общую точку?

586. При каких неотрицательных значениях k прямая у = kх — 2 не пересекает параболу у = х² — х — 1?

587. При каких отрицательных значениях k прямая имеет с параболой у = х² + 3x — 4 не более одной точки пересечения?

588. При каких отрицательных значениях k прямая у = kх + 5 имеет с параболой у = х² - 4х + 14 единственную общую точку (касается)?

589. При каких отрицательных значениях k прямая у = kх — 1 имеет с параболой у = х² + 2х + 3 единственную общую точку (касается)?

590. При каких положительных значениях k прямая у = kх — 13 пересекает параболу у = х² + 3х — 4 в двух точках?

591. При каких положительных значениях k прямая у = kх — 5 пересекает параболу у = х² — 2х — 1 в двух точках?

592. При каких положительных значениях k прямая у = kх — 8 и парабола у = х² + 5х + 1 не имеют общих точек?

593. При каких положительных значениях k прямая у = kх — 11 и парабола у = х² + 6х + 25 не имеют общих точек?

594. Найдите все значения параметра а, при которых система неравенств имеет ровно одно целое решение.

595. Найдите все значения параметра а, при которых система неравенств имеет ровно два целых решения.

596. При каких отрицательных значениях с парабола у = х² + 3х — 2с имеет с осью Ох не менее одной общей точки?

597. При каких значениях р парабола у = рх² — 4x + 3 не имеет с осью Ох ни одной общей точки?

598. При каких значениях р графики функций у = рх² — 24x + 1 и у = 12x² — 2рх — 1 пересекаются в двух точках?

599. При каких отрицательных значениях k прямая у = kx + 10 и парабола у = —x² — 3x + 6 не имеют общих точек?

600. Определите наибольшее целое значение а, при котором корни уравнения ах² — 4x + 2 = 0 имеют разные знаки.

601. При каких значениях b и с вершина параболы у = х² + bх + с находится в точке (—4; 7)?

602. При каких отрицательных значениях k прямая у = kх + 2 пересекает окружность х² + (у — 4)² = 2 в двух точках?

603. При каких неположительных значениях k прямая у = х + k + 1 пересекает окружность (х + 1)² + (у — 1)² = 2 в двух точках?

604. При каких значениях а парабола у = 3х² — 2ах + 4 и прямая у = а — 2 не имеют общих точек?

605. При каких значениях k парабола у = 2х² + 2kх + 6 и прямая у = —k — 6 не имеют общих точек?

606. При каких значениях k прямая у = kх - 2 не имеет общих точек ни с параболой у = х² + 3х — 1, ни с параболой у — х² — х + 2?

607. При каких значениях k прямая у = kх + 5 не имеет общих точек ни с параболой у = -2х² - 2х +3, ни с параболой у = х² + 5х + 21?

608. Найдите все значения а, при которых прямая у = ах пересекает в трёх различных точках график функции

609. При каких значениях параметра а все решения неравенства 2х² + 2(а + 2)х + а + 6 < 0 являются положительными числами?

610. При каких значениях параметра а все решения неравенства 2х² + 2(а — 2)х + 6 — а < 0 являются отрицательными числами?

611. Найдите все значения а, при которых неравенство х² - (6а + 2)х + 9а + 3 ≤ 0 не имеет решений.

612. Найдите все значения а, при которых неравенство —х² + (3 — 4а)х + 3а — 1,75 ≥ 0 не имеет решений.

613. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство ах² + (а — 3)х + а > 0 выполняется при любых х.

614. Найдите все отрицательные значения параметра а, при которых неравенство ах² + (а — 6)х + а ≥ 0 не имеет решений.

615. Найдите все значения параметра k, при которых прямая у = kх + 4 имеет не менее трёх различных общих точек с графиком функции

616. Найдите все значения параметра k, при которых прямая у = kх + 2 имеет не менее трёх различных общих точек с графиком функции

617. Найдите все значения k, при которых прямая у = kх пересекает график функции у = у(х) ровно в двух точках, где

618. Найдите все значения k, при которых прямая у = kх пересекает ровно в двух различных точках график функции, заданной условиями

619. Найдите все значения k, при которых прямая у = kх пересекает ровно в двух точках график функции, заданной условиями

620. В окружности с центром в точке (6; 4) и радиусом 4 проведены два диаметра, параллельные осям координат. Найдите все значения k, при которых прямая у = kх имеет ровно одну общую точку с диаметрами.

621. На координатной плоскости прямые х = 2, x = 12, у = 4 и у = 8 ограничивают прямоугольник. Найдите все значения k, при которых прямая у = kх имеет ровно две общие точки с множеством точек, принадлежащих диагоналям этого прямоугольника.