Поурочные разработки по Геометрии 11 класс

Объем пирамиды - урок 2 - Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса - ОБЪЕМЫ ТЕЛ

Цели урока:

- сформировать навык нахождения объема пирамиды, у которой вершина проецируется в центр вписанной или описанной около основания окружности.

Ход урока

I. Проверка вывода формулы для вычисления объема усеченной пирамиды (ученик у доски)

Ответ ученика:

Объем усеченной пирамиды рассматриваем как разность объемов полной пирамиды и той, что отсечена от нее плоскостью, параллельной основанию (рис. 1).

Поэтому,

Из равенства Находим: Подставляем это выражение для х в формулу (1),

II. Устная работа в форме теста, с проверкой у доски.

1. В наклонной призме боковое ребро равно 7 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 4 см и 3 см. найдите объем призмы.

а) 10 см3, б) 42 см3, в) 60 см3, г) 30 см3.

2. В правильной шестиугольной пирамиде сторона ее основания 2 см, объем пирамиды 6 см3. Чему равна высота?

а) √3 см, б) 3 см, в) 1/3 см.

3. Объем пирамиды равен 56 см3, площадь основания 14 см2. Чему равна высота?

а) 14 см, б) 12 см, в) 16 см.

4. В правильной треугольной пирамиде высота равна 5 см, стороны основания 3 см. Чему равен объем пирамиды?

5. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. найдите объем пирамиды.

а) 50 см3, б) 48 см3, в) 16 см3.

6. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см3, высота 9 см. найти сторону основания.

а) 12 см, б) 9 см, в) 3 см.

7. Объем усеченной пирамиды равен 210 см3, площадь нижнего основания 36 см2, верхнего 9 см2. Найдите высоту пирамиды.

а) 1 см, б) 15 см, в) 10 см.

8. Равновеликие призма и правильная четырехугольная пирамида имеют равные высоты.

Чему равна сторона основания пирамиды, если площадь основания призмы равна S?

Таблица ответов.

Задача	1	2	3	4	5	6	7	8
Ответ	б	а	б	а	б	в	в	в

III. Решение задач

Рассмотрим базовые задачи (повторение).

Задача № 1.

Если боковые ребра пирамиды равны (или составляют равные углы с плоскостью основания), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания (рис. 2).

Доказательство:

1) ΔМАО = ΔМВО = ΔМСО = ... (равны по катету и гипотенузе или по катету и острому углу).

2) Тогда ОА = ОВ = ОС = ..., т.е. точка О - центр окружности, описанной около основания.

Задача № 2.

Если двугранные углы при основании пирамиды равны (или равны высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды (рис. 3).

Доказательство:

1) ΔМКО = ΔМЕО = ΔMFO = ... (по катету и острому углу).

2) OK = OE = OF =..., т.е. точка О - центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

Решаем задачи по готовым чертежам:

1. Дано: ABCD - пирамида. ΔАВС - прямоугольный, ∠С = 90°, АС = 6, ВС = 8. Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45° (рис. 4).

Найти: Vпир. - ?

Решение:

1) Так как α = 45°, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. ΔАВС - прямоугольный, значит, точка О - середина гипотенузы, АО = ОС = ОВ.

2) ΔАВС, ∠С = 90°, тогда по теореме Пифагора: АВ = 10, АО = 5.