Вычисление углов между прямыми и плоскостями - Скалярное произведение векторов - МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

Цель урока:

- показать, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания

Во время перемены консультанты проверяют домашнюю работу (предварительно обсудив ее результаты с учителем).

В начале урока - доклад консультантов о результатах проверки.

II. Формирование новых знаний учащихся

1. Для вычисления угла между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью, удобно использовать скалярное произведение. Прежде чем рассмотреть две такие задачи на вычисление углов, введем понятие направляющего вектора прямой.

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой а, если он лежит либо на прямой а, либо на прямой, параллельной а (рис. 1).

2. Разбираются ключевые задачи 1 и 2, предложенные в учебнике (п. 48).

III. Формирование умений и навыков учащихс.

Задача № 464 а).

Дано: А(3; -2; 4), В(4; -1; 2;), С(6; -3; 2), D(7; -3; 1).

Найти: угол между прямыми АВ и CD.

Решение: Найдем координаты векторов Так как угол между прямыми 0° < φ < 90°, то cosφ > 0. Имеем:

поэтому φ = 30°. (Ответ: 30°.)

Задача № 466 а).

Дано: куб ABCDA1B1C1D1, M ∈ АА1АМ: МА1 = 3 : 1, N - середина ВС (рис. 2).

Вычислить косинус угла между прямыми MN и DD1.

Решение:

1. Введем систему координат так, как показано на рисунке (заранее - на доске).

Рассмотрим направляющие векторы и прямых DD1 и MN. Пусть единица измерения отрезков выбрана так, что АА1 = 4, тогда М(0; 4; 3), N(4;2;0), {4; -2; 3}, {0; 0; 4}.

2. Используя векторы и , находим косинус угла φ между прямыми DD1 и MN: (Ответ: )

Дополнительная задача (целесообразно использовать слайд или заранее заготовить на переносной доске решение).

Дан: прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, DA = 1, DC= 2, DD1 = 3 (рис. 3).

Найти: угол между прямыми СВ1 и D1B.

Решение: Введем систему координат Dxyz. Рассмотрим направляющие векторы прямых D1B и СВ1. D(0; 0; 3), B(1; 2; 0), {1; 2; -3}, С(0; 2; 0), В1(1; 2; 3), {1; 0; 3}. Пусть φ - искомый угол, φ ≈ 47°28'. (Ответ: 47°28'.)

Задача № 467 а) (предложить для самостоятельного решения двумя способами).

Проверить ответ и решение, заранее записанное на доске, или работают два ученика на переносных досках.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = ВС = 1/2АА1.

Найдите угол между прямыми BD и CD1 (см. рис. 4).

Решение:

1 способ.

Введем систему координат, как показано на рис. 4. Пусть единица измерения отрезков выбрана так, что АА1 = 2, тогда АВ = ВС = 1, В(0; 0; 0), D(1; 1; 0), С(1; 0; 0), D1(1; 1; 2), {1; 1; 0}, {0; 1; 2}. Используя векторы и , находим косинус угла φ между прямыми BD и CD1. Отсюда, φ ≈ 71°34'. (Ответ: 71°34'.)

2 способ.

Угол между прямыми BD и CD1 равен углу между прямыми BD и ВА1, так как CD1 || ВА1. В ΔBDA1 имеем по теореме Пифагора находим По теореме косинусов отсюда, (Ответ: 71°34'.)

IV. Подведение итогов

- На примере решения этих задач мы убедились, что использование координатно-векторного способа (метода) значительно облегчает решение некоторых задач.

Домашнее задание

П. 48, № 466 б), в), 465 (с решением в учебнике); для сильных учащихся № 467 б) - двумя способами.

Домашнее задани.

№ 466 б), в).

Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб, M ∈ АA1; AM : МА1 = 3 : 1; N ∈ ВС, BN = NC (рис. 5).

Найти:

Решение: Введем систему координат так, чтобы B - начало координат; АВ ∈ ОХ, ВС ∈ ОУ; ВВ ∈ OZ, АВ = а - длина ребра. Тогда В(0; 0; 0); A(а; 0; 0); С(0; а; 0); D(а; а; 0); А1(а; 0; а); В1(0; 0; a); D1(а; а; а); М(а; 0; 3/4a); N(0; a/2; 0). (-a; a/2; -3/4a); .

б) {а; а; 0},

в)

(Ответ: )

Задача 467 б).

Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, АВ = ВС = 1/2АА1 (рис. 6).

Найти:

Решение: Введем систему координат: АВ ∈ ох, ВС ∈ оу, ВВ1 ∈ oz, А(а; 0; 0), В(0; 0; 0), С(0; а; 0), D(а; а; 0), С1(0; а; 2а), А1(а; 0; 2а). {-а; а; 0}, {-а; а; 2а},