Вариант № 13 - Учебно-тренировочные тесты - МАТЕМАТИКА ПОДГОТОВКА К ЕГЭ

Часть 1

В1. Розничная цена учебника 156 рублей, она на 30% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 5000 рублей?

В2. На диаграмме (см. рис. 81) показана среднемесячная температура воздуха в Ростове-на-Дону за каждый месяц 2010 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько в 2010 г. было месяцев, когда среднемесячная температура была ниже 10 градусов Цельсия.

Рис. 81.

В3. Диагонали ромба ABCD равны 15 и 10 (см. рис. 82). Найдите длину вектора

Рис. 82.

В4. От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.

	1	2	3
1. Автобус	От дома до автобусной станции — 35 мин.	Автобус в пути: 2 ч 24 мин.	От остановки автобуса до дачи пешком — 25 мин.
2. Электричка	От дома до станции железной дороги — 44 мин.	Электричка в пути: 1 ч 58 мин.	От станции до дачи пешком — 30 мин.
3. Маршрутное такси	От дома до остановки маршрутного такси — 35 мин.	Маршрутное такси в пути: 1 ч 46 мин.	От остановки маршрутного такси до дачи пешком — 76 мин.

В5. Найдите корень уравнения

В6. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 2:1, меньшая его сторона равна 5 (см. рис. 83). Найдите диагональ заданного прямоугольника.

Рис. 83.

В7. Найдите значение выражения

В8. На рисунке 84 изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (—4; 10). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите количество целых точек, входящих в эти промежутки.

Рис. 84.

В9. Конус вписан в шар (см. рис. 85). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 15. Найдите объём шара.

Рис. 85.

В10. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 30 до 39 делится на три?

В11. Объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 12. Найдите объём треугольной пирамиды A₁DBC₁ (см. рис. 86).

Рис. 86.

В12. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала f₀ = 250 Гц и определяется следующим выражением: (Гц), где с — скорость распространения сигнала в среде (в м/с); u = 20 м/с и v = 5 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости с (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет не менее 270 Гц?

В13. Строительные фирмы учредили компанию с уставным капиталом 150 млн рублей. Первая фирма внесла 20% уставного капитала, вторая фирма — 22,5 млн рублей, третья — 0,3 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внесла четвёртая фирма.

Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесённому в уставный капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 100 млн рублей причитается четвёртой фирме? Ответ дайте в миллионах рублей.

В14. Найдите точку минимума функции

Часть 2

С1. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-2π; -π/2).

С2. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит равнобедренная трапеция с основаниями АВ и DC. Ребро SA, равное 18, перпендикулярно плоскости основания, АВ = 20, DC = 10, AD = 13. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью SCB.

С3. Решите систему неравенств

C4. К окружности с центром О и радиусом 5 провели секущую АО, пересекающую окружность в точках М и М₁, и касательную АВ. Расстояние от точки А до точки касания В равно 12. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВМ.

С5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно 2 решения.

С6. В алфавите племени Умтис две буквы — А и У.

а) Сколько 7-буквенных слов может быть в их языке?

б) Сколько 9-буквенных слов можно составить на языке племени Умтис, если буква А не может встречаться 2 раза подряд?

в) Сколько 10-буквенных слов может быть в языке этого племени, если буква А не может встречаться три раза подряд, а буква У — 2 раза подряд?