Корни квадратного трехчлена - Квадратный трехчлен - Квадратичная функция

Цель: рассмотреть понятие квадратного трехчлена, его корни, выделение квадрата двучлена.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Функция, возрастающая на промежутке.

2. Понятие нечетной функции и ее свойство.

3. Постройте график функции.

Вариант 2

1. Функция, убывающая на промежутке.

2. Понятие четной функции и ее свойство.

3. Постройте график функции.

III. Изучение нового материала

Выражение (где х - переменная; - коэффициенты, при этом аn ≠ 0) называют многочленом n-й степени. Коэффициент аП называют старшим коэффициентом, коэффициент а0 - свободным членом.

Пример 1

а) - многочлен пятой степени, а5 = 2 - старший коэффициент, а0 = -5 - свободный член.

б) — многочлен третьей степени, а3 = 7 - старший коэффициент, а0 = 0 - свободный член.

Значение переменной x0, при котором многочлен Рn(х) равен нулю, называют корнем многочлена, т. е. Рn(х0) = 0.

Пример 2

Найдем корни многочлена Р3(х) = 2х3 - 8х.

Для этого необходимо решить кубическое уравнение 2х3 - 8х = 0. Разложим левую часть уравнения на множители: 2х(х2 - 4) = 0, или 2х(х + 2)(х - 2) = 0. Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю.

Получаем три линейных уравнения: х = 0, х + 2 = 0, х - 2 = 0, откуда x1 = 0, х2 = -2 и х3 = 2.

Итак, данный многочлен имеет три корня.

Наиболее изучен и наиболее часто встречается в школьном курсе математики многочлен второй степени - квадратный трехчлен. Квадратным трехчленом называют многочлен ах2 + bх + с, где х - переменная, а, b и с — коэффициенты (а ≠ 0). Коэффициент а называют старшим коэффициентом, b - вторым коэффициентом, с - свободным членом.

Пример 3

а) Р2(х) = 3х2 - 7х - 2 - квадратный трехчлен, у которого а = 3, b = -7 и с = -2.

б) Р2(х) = 3х2 - 1х - квадратный трехчлен, у которого а = 3, b = -7 и с = 0.

в) Р2(х) = 3х2 - квадратный трехчлен, у которого а = 3, b = с = 0.

Таким образом, может оказаться, что в квадратном трехчлене коэффициенты b = 0, или с = 0, или даже b = с = 0.

Естественно, чтобы найти корни квадратного трехчлена Р2(х) = ах2 + bх + с, надо решить квадратное уравнение Р2(х) = 0.

Дискриминант D = b2 - 4ас квадратного уравнения Р2(х) = 0 также считают дискриминантом квадратного трехчлена Р2(х). Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два различных корня: если D = 0 - один корень (точнее, два одинаковых корня); если D < 0 - не имеет корней.

Пример 4

Найдем корни квадратного трехчлена 3х2 - 5х - 2.

Решим квадратное уравнение 3х2 - 5х - 2 = 0.

Для этого уравнения а = 3, b = -5 и с = -2. Найдем дискриминант D = (-5)2 - 4 · 3 · (-2) = 49 и корни т. е. х1 = 12/6 = 2 и x2 = -2/6 = -1/3.

Итак, данный трехчлен имеет два корня х1 = 2 и х2 = -1/3.

Подобным же образом можно находить и корни квадратных трехчленов с параметром (в основном однородных трехчленов).

Пример 5

Найдем корни квадратного трехчлена 4х1 – 3nх – 7n2 (где n - параметр).

Данный трехчлен является однородным, т. к. каждый из его членов: 4х2, -3nх и -7n2 - имеет одну и ту же (вторую) степень. Решим однородное квадратное уравнение 4х2 – 3nх – 7n2 = 0. Для этого уравнения а = 4, b = -3n и с = -7n2. Найдем дискриминант и корни т. е. х1 = 14n/8 = 7/4n и и х2 = -8n/8 = -n. Таким образом, данный трехчлен имеет два корня: х1 = 7n/4 и х2 = -n.

При решении задач удобно бывает квадратный трехчлен aх2 + bх + с представить в виде а(х - m)2 + n, где m и n - некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Пример 6

Выделим из трехчлена 2х2 - 16х + 7 квадрат двучлена.

Сначала вынесем за скобки коэффициент 2 и получим: Теперь в скобках выделим квадрат двучлена. Для этого представим член -8х в виде удвоенного произведения: -8х = -2· х · 4. Затем прибавим и вычтем квадрат второго члена 42. Получаем:

Таким образом, из квадратного трехчлена 2х2 - 16х + 7 выделили квадрат двучлена 2(х - 4)2 - 25, т. е. представили в заданном виде (где а = 2, m = 4 и n = -25).

В частности, такое представление позволяет утверждать, что наименьшее значение трехчлена равно -25 и достигается при х = 4. Действительно, в выражении 2(х - 4)2 - 25 при всех х величина 2(х - 4)2 ≥ 0. Поэтому наименьшее значение выражения будет при х - 4 = 0, т. е. х = 4.

Аналогичный прием может быть использован и при исследовании многочленов второй степени с двумя переменными.

Пример 7

Найдем наименьшее значение многочлена Р(х, у) = 2х2 + у2 + 2ху - 2х + 5.

В данном многочлене представим члены в виде: 2х2 = х2 + х2 и 5 = 1 + 4 и выделим квадраты двучленов. Получаем.

Учтем, что при всех значениях х и у величины (х + у)2 ≥ 0 и (х - 1)2 ≥ 0. Поэтому наименьшее значение данного многочлена достигается при условии х + у = 0 и х - 1 = 0, т. е. при х = 1 и y = -1. Это наименьшее значение равно 4.

Выделение квадрата двучлена полезно использовать и при решении прикладных задач.

Пример 8

На берегу канала надо огородить с трех сторон участок прямоугольной формы (со стороны канала участок не загораживают) наибольшей площади. Длина забора 120 м. Каковы будут размеры участка и его площадь?

Пусть забор имеет форму ломаной ABCD со сторонами АВ = CD = х (м) и ВС = 120 - 2х (м). Найдем площадь участка S = АВ · ВС = х(120 - 2х) = -2х2 + 120х (м2). Выделим в этом квадратном трехчлене квадрат двучлена: S = -2х2 + 120х = -2(х2 - 60х) = -2(х2 - 2 · х · 30 + 302 - 302) = -2(х - 30)2 + 2 · 900 = 1800 - 2(х - 30)2. При всех значениях х выражение -2(х - 30)2 ≤ 0. Поэтому величина S имеет наибольшую величину при х = 30, и эта величина S = 1800. Таким образом, размеры забора равны: АВ = 30 м, ВС = 60 м и CD = 30 м. При этом площадь участка составляет 1800 м2 (18 соток).

IV. Контрольные вопросы

1. Какое выражение называют многочленом n-й степени с одной переменной?

2. Корень многочлена n-й степени.

3. Какой многочлен называют квадратным трехчленом?

4. Как найти корни квадратного трехчлена?

5. Сколько корней имеет квадратный трехчлен?

6. Какое преобразование называют выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена?

V. Задание на уроке

№ 55; 56 (а, г); 59 (а, б, д, е); 61 (а, г); 63; 64 (а, в); 66 (б, г); 68; 70; 72; 74(a); 75 (б).

VI. Задание на дом

№ 56 (б, в); 58; 59 (в, г); 61 (б, в); 64 (б, г); 66 (а, в); 69; 71; 73; 74 (б); 75 (а).

VII. Творческие задания

1. Найдите связь между переменными хи^, если выполнено равенство.

Ответы: а) х = 2,5у и х = -4у; б) х = 4у и х = 1/3у; в) х = 5у и х = 1,5у; г) х = у и х = 0,6y.

2. Найдите наибольшее значение выражения. При каких значениях х и у оно достигается?

Ответы: а) 13 при х = -2 и у = 3; б) 29 при х = 5 и y = -1; в) 7 при х = 1 и y = -1; г) 10 при х = 2 и у = 2.

3. Найдите наибольшее значение выражения. При каких значениях х и у оно достигается?

Ответы: а) 7 при х = 2 и у = -3; б) 1 при х = 1 и у = -2; в) 10 при х = -2 и у =3; г) 2 при х = 1 и у = 5.

VIII. Подведение итогов урока