ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПРИБЛИЖЁННОГО ЗНАЧЕНИЯ - НЕРАВЕНСТВА

Цели: ввести понятие относительной погрешности приближённого значения; формировать умение оценивать качество измерения с помощью относительной погрешности.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Приближённое значение числа х равно а. Найдите абсолютную погрешность приближения, если:

а) х = 2,85, а = 2,9;

б) х = 26,3, а = 26;

в) х = 18,65, а = 19;

г) х = 686, а = 690.

2. Оцените точное значение b, если:

а) b = 6 ± 1;

б) b = 15 ± 0,1;

в) 6= 14,568 ± 0,001;

г) b = 120 ± 10.

При проведении устной работы одновременно актуализируем определение абсолютной погрешности приближённого значения.

II. Объяснение нового материала.

1. Мотивация изучения.

Предлагаем учащимся для рассмотрения следующую ситуацию. Марина, измеряя длину детали, имеющую истинную длину 10 см, допустила абсолютную погрешность, равную 1 см. Сергей, измеряя длину комнаты, истинная длина которой 5 м, также допустил абсолютную погрешность, равную 1 см. Вопрос: кто из ребят выполнил измерение более точно (качественно)?

Учащиеся интуитивно понимают, что Сергей более качественно выполнил работу, так как относительно размера комнаты эта абсолютная погрешность не столь существенна, как относительно размера детали.

2. Введение понятия “относительная погрешность”.

Сообщаем учащимся, что точность приближения, или его качество, как правило, характеризуется не абсолютной его погрешностью, а относительной. Выносим на доску запись:

Относительной погрешностью приближённого значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения

В рассмотренной выше ситуации при измерении (в сантиметрах) детали и длины комнаты получены результаты:

а = 10 ± 1 (длина детали); b = 500 ± 1 (длина комнаты).

В первом случае относительная погрешность составляет 1/10, во втором 1/500. Выразив относительную погрешность в процентах, получим 10 % и 0,2 %.

Вывод: чем меньше относительная погрешность приближения, тем приближение считается более точным.

3. По примеру со с. 166-167 учебника разбираем способ оценки относительной погрешности в случае, когда абсолютная погрешность не известна, а известна только точность приближённого значения.

Пусть а - приближённое значение х с точностью до h, тогда х = а ± h. Значит, относительная погрешность не превосходит Иными словами, приближение выполнено с точностью до

III. Формирование умений и навыков.

Все задания, которые учащиеся должны выполнить на этом уроке, можно разбить натри группы:

1) Определение точности измерения.

2) Вычисление относительной погрешности приближённого значения по абсолютной погрешности.

3) Оценка относительной погрешности приближённого значения по его точности.

• № 790, 791.

№ 791.

17,9 мм - получено штангенциркулем;

18 мм - получено линейкой;

17,86 мм - получено микрометром.

Измерение:

- линейкой с точностью до 1 мм;

- штангенциркулем с точностью до 0,1 мм;

- микрометром с точностью до 0,01 мм.

Задание. Округлите число единиц и найдите относительную погрешность округления:

а) 1,7;

б) 5,314.

Решение

а) 1,7 ≈ 2.

Абсолютная погрешность равна |1,7 - 2| = 0,3.

Относительная погрешность равна

б) 5,314 ≈ 5.

Абсолютная погрешность равна |5,314 - 5| = 0,314.

Относительная погрешность равна

Ответ: 15%; б) 6,28%.

№ 793.

ρ = 7,8 г/см³ - табличное значение плотности железа.

7,6 г/см³ - приближённое значение.

Абсолютная погрешность составляет |7,8 - 7,6| = 0,2.

Относительная погрешность равна

Ответ: ≈ 2,6 %.

№ 795.

d = 0,15 ± 0,01 мм;

l = 384000 ± 500 км.

Относительная погрешность измерения толщины волоса не превышает то есть ≈ 6,7 %.

Относительная погрешность измерения расстояния от Земли до Луны не превышает то есть 0,1 %.

6,7% > 0,1%, значит, измерение расстояния от Земли до Луны произведено более качественно (с большей точностью).

IV. Итоги урока.

- Почему по абсолютной погрешности приближённого значения нельзя судить о качестве приближения (измерения)? Приведите пример.

- Что называется относительной погрешностью приближённого значения?

- Каким образом можно оценить относительную погрешность приближённого значения, если абсолютная погрешность неизвестна?

Домашнее задание:

1. № 792, 794.

2. Сравнить качества измерения массы М электровоза и массы m таблетки лекарства, если М ≈ 184m (с точностью до 0,5m) и m ≈ 0,25 г (с точностью до 0,01 г).

3. Подготовиться к контрольной работе, повторить п. 28-30.

№ 797 (а), 930 (а), 932.