Алгебра поурочные планы 8 класс - по учебнику Ю. Н. Макарычева
РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧЕТНЫМ ВТОРЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ - КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Цели: вывести формулу (II) нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом; формировать умение применять формулы I и II для решения квадратных уравнений.
Ход урока
I. Организационным момент.
II. Устная работа.
1. Назовите коэффициенты а, b, с уравнений:
2. Решите уравнение:
3. Сколько корней имеет уравнение:
III. Объяснение нового материала.
1. Создание проблемной ситуации.
Предложить учащимся для решения квадратное уравнение 15х2 – 34x + 15 = 0. Используя формулу нахождения корней квадратного уравнения, получаем:
Решая это уравнение, учащиеся вынуждены проводить вычисления достаточно громоздкие, в отличие от ранее решаемых уравнений.
Можно теперь сообщить учащимся, что для решения квадратных уравнений, у которых второй коэффициент четный, существует другая формула корней, позволяющая упростить вычисления.
2. Вывод этой формулы проводится согласно пункту учебника. Причём в сильном классе можно предложить учащимся проделать это самостоятельно, записав только общий вид такого уравнения: ах2 + 2 ∙ k ∙ х + с = 0 (b = 2k).
После вывода формулы возвращаемся к решенному уравнению и применяем новую формулу:
Как видим, вычисления можно произвести “в уме”, так как все значения квадратов чисел - табличные.
На доску можно вынести плакат:
Решение квадратного уравнения а2 + kх + с = 0, а ≠ 0; D1 = k2 - ас. Если D1 < 0, то уравнение не имеет корней; Если D1 = 0, то Если D1 > 0, то |
Обращаем внимание учащихся, что D1 в четыре раза меньше, чем D.
IV. Формирование умений и навыков.
Все задания, решаемые на этом уроке, можно разбить на три группы:
1-я группа. Задания на непосредственное применение формулы (II) корней квадратного уравнения: № 539 (б, г, ж), 540 (в, з).
При решении этих заданий демонстрируем учащимся применение новой формулы для случая, когда корни уравнения являются иррациональными. Для этого вызываем двух учеников к доске и параллельно проводим решение по разным формулам.
№ 539.
ж) 7z2- 20z + 14 = 0
Формула I |
Формула II |
(Ещё раз замечаем, что ) |
|
Вынесем множитель из-под знака корня: то есть |
Таким образом, получаем такие же корни.
2-я группа. Задания с выбором формулы (I или II) корней квадратного уравнения в зависимости от второго коэффициента: № 541 (б, в, ж), 546 (а, г), 550 (б), 552 (а, в), 553 (а).
3-я группа. Задания повышенной трудности: № 554, 555 можно предложить сильным учащимся, сократив для них количество заданий из 1-й и 2-й групп.
№ 554.
Можно предположить, что корни уравнений ах2 + bх + с = 0 и сх2 + bх + а = 0 являются взаимно обратными числами. Докажем это.
(Мы предполагаем, что b2 - 4ас ≥ 0, то есть корни существуют.)
Вычислим Значит, x1 и х4 – взаимно обратные числа.
Аналогично доказывается, что x1 и х3 - взаимно обратные числа.
№ 555.
Чтобы определить количество корней, необходимо оценить дискриминант. Выделим в выражении квадрат двучлена:
Дискриминант принимает положительные значения при любом а (точнее D ≥ 12), значит, при любом а уравнение имеет два корня.
Ответ: а) нет; б) нет; в) при любом а.
V. Итоги урока.
- В каких случаях применяется формула II корней квадратного уравнения?
- В каком отношении находятся D1 и D?
- По какой формуле вычисляется D1?
- Можно ли применять формулу I корней квадратного уравнения, если коэффициент b чётный?
- Могут ли получиться разные корни при применении различных формул корней квадратного уравнения?
Домашнее задание: № 539 (в, е, з), 540 (б, е, ж), 541 (е, з), 548 (б, г), 551 (а, г, д).