Вынесение общего множителя за скобки - ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА И МНОГОЧЛЕНА - МНОГОЧЛЕНЫ

Цель: сформировать навыки разложения многочленов на множители.

Планируемые результаты: научиться выносить общий множитель за скобки.

Тип уроков: урок общеметодологической направленности, урок-практикум.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Решите уравнение:

2. Поезд уменьшил скорость с 80 км/ч до 60 км/ч. В результате он затратил на путь между городами на 30 мин больше. Найдите расстояние между городами.

Вариант 2

1. Решите уравнение:

2. Поезд увеличил скорость с 50 км/ч до 75 км/ч. В результате он затратил на путь между городами на 40 мин меньше. Найдите расстояние между городами.

III. Работа по теме уроков

При алгебраических преобразованиях, решении уравнений, выполнении действий с алгебраическими дробями бывает полезно представить многочлен в виде произведения других многочленов (некоторые такие многочлены могут быть и одночленами). Такое представление многочлена называется разложением многочлена на множители.

Оно основано на распределительном свойстве: ab + ас = а(b + с). При этом общий множитель а в членах ab и ас многочлена выносят за скобки. Поэтому такой способ разложения многочлена называют вынесением общего множителя за скобки.

Пример 1

Разложим на множители многочлен А = 9а²b² - 21а²b³. Легко заметить, что члены 9а³b² и 21 а²b³ многочлена А имеют наибольший общий множитель 3а²b². Поэтому их можно записать в таком виде:

Тогда данный многочлен имеет вид

Используя распределительное свойство, вынесем общий множитель 3а²b² за скобки и получим Таким образом, данный многочлен А разложен на произведение одночлена 3а²b² и многочлена 3а – 7b.

Заметим, что легко проверить правильность разложения на множители. Для этого надо выполнить обратное действие — перемножить одночлен 3а²b² и многочлен 3а – 7b. Получаем

Так как в результате умножения вновь получен многочлен А, то его разложение на множители выполнено правильно.

Пример 2

Разложим на множители многочлен

Легко заметить, что каждый член многочлена А имеет общий множитель — одночлен 7ab. Поэтому многочлен А можно записать в таком виде: Теперь этот общий множитель 7ab можно вынести за скобки:

Таким образом, многочлен А разложен на произведение одночлена lab и многочлена 3а²b + 4ab² - 2.

Правильность разложения на множители легко проверить.

Если умножить множители многочлена, то получится данный многочлен:

Пример 3

Разложим на множители выражение

Вынесем общий множитель (2а + 3b) за скобки и получим

Итак, многочлен А разложен на множители — многочлены 2а + 3b и 2а²b + 3с.

Пример 4

Разложим на множители выражение

Слагаемые в выражении А имеют множители а - ЗЬ и ЗЬ - а, которые отличаются друг от друга только знаком.

Поэтому в многочлене 3b - а выносим число -1 за скобки. Получаем

Таким образом, данный многочлен А разложен на множители — многочлены а – 3b и 7а² - b.

Способ разложения на множители часто используется при решении уравнений и в задачах на делимость чисел.

Пример 5

Решим уравнение 3x² - 2х = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого выносим общий множитель х за скобки. Получаем х(3х - 2) = 0. Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Имеем х = 0 или 3х - 2 = 0 (корень этого линейного уравнения x = 2/3.)

Итак, данное уравнение имеет два корня: х = 0 и x = 2/3.

Пример 6

Докажем, что выражение 4⁶ + 4⁸ - 7 ∙ 4⁵ делится на 61.

Вынесем в выражении 4⁶ + 4⁸ - 7 ∙ 4⁵ общий множитель 4⁵ за скобки и получим 4⁶ + 4⁸ - 7 ∙ 4⁵ = 4⁵(4 + 64 - 7) = 4⁵ ∙ 61. Данное выражение представлено в виде произведения двух чисел, одно из которых равно 61. Поэтому данное выражение делится на 61.

IV. Задания на уроке

№ 655 (а, е), 657 (д, е), 659 (а, в), 661 (а, г), 662 (в, д), 665 (а, б), 668 (в, г), 672 (а, д).

V. Контрольные вопросы

— Какое преобразование называется разложением многочлена на множители? Приведите примеры.

— На каком свойстве основано вынесение общего множителя за скобки?

— Как выносится за скобки общий множитель? Поясните на примере.

VI. Подведение итогов урока

Домашнее задание

№ 655 (г, и), 657 (и, к), 659 (г, е), 661 (в, и), 662 (г, е), 665 (в, г), 668 (а, е), 672 (в, г).