Умножение одночлена на многочлен - ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА И МНОГОЧЛЕНА - МНОГОЧЛЕНЫ

Цель: рассмотреть умножение одночлена на многочлен.

Планируемые результаты: научиться перемножать одночлен и многочлен.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Упростите выражение 3х²у - (2х²у - ху) + (ху - ух²) и найдите его значение при ху = -3.

2. Докажите, что значение выражения 6а²b² + (3ab² - 2а²b²) - (4а²b² + ab²) - 2ab² не зависит от значений переменных а и b.

3. Какой остаток при делении на 4 дает сумма четырех последовательных натуральных чисел?

Вариант 2

1. Упростите выражение 5ху² - (3xу² + ху) + (4ху - 2у²х) и найдите его значение при ху = -4.

2. Докажите, что значение выражения 5ab² - (3ab² + 3а²b) + (2a²b - 2аb²) + а²b не зависит от значений переменных а и b.

3. Какой остаток при делении на 5 дает сумма пяти последовательных натуральных чисел?

III. Работа по теме урока

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения алгебраически сложить.

Пример 1

Умножим многочлен А = 3а² - 2ab + b² на одночлен В = -2ab.

Получаем А ∙ В = (3а² - 2ab + b²) ∙ (-2ab) = 3а² ∙ (-2ab) - 2ab ∙ (-2ab) + b² ∙ (-2ab) = -6а³b + 4а²b² - 2ab².

Заметим, что если многочлен имеет стандартный вид, то в результате такого умножения также получается многочлен стандартного вида, который уже не нуждается в приведении подобных членов.

Пример 2

Умножим одночлен А = -2а² на многочлен В = 7а³ - 5а² + 3а - 4.

Получаем А ∙ В = -2а² ∙ (7а³ - 5а² + 3а - 4) = -2а² ∙ 7а³ - 2а² ∙ (-5а²) - 2а² ∙ 3а - 2а² ∙ (-4) = -14а⁵ + 10а⁴ - 6а³ + 8а².

Полученный многочлен имеет стандартный вид. Заметим, что промежуточные результаты можно не записывать. Тогда запись такого умножения выглядит короче: А ∙ В = -2а² ∙ (7а³ - 5а² + 3а - 4) = -14а⁵ + 10а⁴ - 6а³ + 8а².

Разумеется, многочлен можно умножить и на несколько одночленов. Сделать это можно двумя способами:

1. Умножить многочлен сначала на первый одночлен. В результате получается новый многочлен, который затем умножается на второй одночлен, и т. д.

2. Перемножить все одночлены. В результате получается новый одночлен, который затем умножается на данный многочлен.

Пример 3

Умножим многочлен А = 3а² - 2ab + 5b² на одночлены В = 2а² и С = ab.

Решим эту задачу двумя перечисленными способами.

1-й способ

Умножим многочлен А на одночлен В. Получаем новый многочлен

Теперь умножим многочлен D на одночлен С. Получаем окончательный ответ — многочлен

2-й способ

Перемножим одночлены В и С. Получаем новый одночлен

Теперь умножим данный многочлен А на новый одночлен Е. Получаем окончательный ответ — многочлен

Разумеется, ответы совпадают в соответствии с сочетательным свойством умножения:

Однако даже при двух одночленах второй способ решения является более простым.

IV. Задания на уроке

№ 614, 617 (в), 618 (б), 620 (в, г), 623 (а), 625, 626, 628 (а).

V. Контрольные вопросы

— Как умножить одночлен на многочлен? Приведите примеры.

— Какое свойство умножения используется при умножении одночлена на многочлен?

VI. Подведение итогов урока

Домашнее задание

№ 615, 617 (е), 618 (в), 620 (д, е), 623 (б), 627, 628 (б).