Делимость чисел - Материалы для подготовки к самостоятельным работам

Пример 1. Какие из чисел 789, 2007, 3528 делятся на 9?

Решение. Воспользуемся признаком делимости на 9.

Так как сумма цифр 7 + 8 + 9 = 24 числа 789 не делится на 9, то число 789 не делится на 9;

так как сумма цифр 2 + 0 + 0 + 7 = 9 числа 2007 делится на 9, то число 2007 делится на 9;

так как сумма цифр 3 + 5 + 2 + 8 = 18 числа 3528 делится на 9, то число 3528 делится на 9.

Ответ. 2007, 3528.

Пример 2. Выпишем все делители числа: а) 125; б) 170.

Решение.

а) Разложим число 125 на простые множители: 125 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 5³.

Теперь выпишем все делители числа 125: 1, 5, 5² = 25, 5³ = 125.

б) Разложим число 170 на простые множители: 170 = 17 ∙ 10 = 17 ∙ 2 ∙ 5 = 2 ∙ 5 ∙ 17.

Теперь выпишем все делители числа 170: 1, 2, 5, 17, 2 ∙ 5 = 10, 2 ∙ 17 = 34, 5 ∙ 17 = 85, 2 ∙ 5 ∙ 17 = 170.

Пример 3. Найдём:

а) НОК (75; 25) и НОД (75; 25);

б) НОК (200; 125) и НОД (200; 125).

Решение.

а) НОК (75; 25) = 75, а НОД (75; 25) = 25, так как 75 делится на 25.

б) Разложим числа 200 и 125 на простые множители: 200 = 8 ∙ 25 = 2³ ∙ 5²; 125 = 5 ∙ 25 = 5³.

НОК (200; 125) = 2³ ∙ 5³ = 1000 (берём все простые делители обоих чисел в наибольшей степени из встречающихся в разложениях);

НОД (200; 125) = 5² = 25 (берём только общие простые делители обоих чисел в наименьшей степени из встречающихся в разложениях).

Пример 4. Вместо звёздочек поставим такие цифры, чтобы число 9*6* делилось на 6. Выпишем все такие числа.

Решение. Чтобы число 9*6* делилось на 6, оно должно делиться и на 2, и на 3. Чтобы число 9*6* делилось на 2, последняя цифра должна быть или 0, или 2, или 4, или 6, или 8. Теперь в каждом из чисел 9*60, 9*62, 9*64, 9*66, 9*68 вместо звёздочки напишем такую цифру, чтобы сумма цифр каждого полученного числа делилась на 3:

9060, 9360, 9660, 9960, 9162, 9462, 9762, 9264, 9564, 9864, 9066, 9366, 9666, 9966, 9168, 9468, 9768.

Пример 5. Сколько делителей имеет число 180?

Решение.

I способ. Выпишем без пропусков все делители числа 180: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.

Всего 18 делителей.

II способ. Разложим число 180 на простые множители: 180 = 2² ∙ 3² ∙ 5.

Запишем в первом столбце 1 и степени простого числа 2, входящие в разложение числа 180. Далее аналогично запишем во втором столбце 1 и степени простого числа 3, в третьем столбце 1 и 5:

Теперь видно, что все делители числа 180 получаются умножением чисел, взятых по одному из каждого столбца. Из чисел первого и второго столбца можно составить 3 ∙ 3 = 9 произведений, для каждого из них можно добавить множителем одно из двух чисел третьего столбца, поэтому всего делителей у числа 180 ровно 3 ∙ 3 ∙ 2 = 18.

Ответ. 18.